Un nombre premier admet pour seuls diviseurs 1 et lui-même.

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 ...

Générer la liste des nombres premiers entre deux entiers.

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Tout nombre qui n'est pas un nombre premier se décompose en un produit de nombres premiers.

Exemple : 4 922 501 = 19 x 41 x 71 x 89
Exemple : 563 145 687 158 431 777 = 29 x 109 x 113 x 2617 x 602440417

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La primorielle (notée #) d'un entier n est le produit de tous les nombres premiers inférieurs ou égaux à n.

Voici les dix premiers (pour n premier):

• 2# = 2
• 3# = 6 = 2 x 3
• 5# = 30 = 2 x 3 x 5
• 7# = 210 = 2 x 3 x 5 x 7
• 11# = 2310 = 2 x 3 x 5 x 7 x 11
• 13# = 30030 = 2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13

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(1+√5) / 2 = 1,6180339887...

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π = 3,1415926535897932384626433832795...

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e = 2.7182818284...
e est la limite de (1 + 1/n)ⁿ quand n tend vers l'infini.
C'est la base des logarithmes népériens : y = ln(x) signifie e^y =x (on a donc ln(e) = 1)
on démontre que e^x = 1 + x + x²/2! + x³/3! ...
ce qui donne : e = 2 + 1/2! + 1/3! + 1/4! ...

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Un nombre de Mersenne est de la forme 2ⁿ - 1 où n est un entier naturel.
Remarque : Un nombre de Mersenne s'écrit avec n 1 en base 2. Il porte le nom de répunit.

Une condition nécessaire (mais non suffisante !) pour qu'un nombre de Mersenne soit premier est que l'exposant n soit lui même premier.
Valeurs de n pour lesquelles le nombre de Mersenne est premier : 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107 ,127, 521, 607 ...

Au 1 janvier 2020, on connait 51 nombres premiers de Mersenne. Pour suivre les dernières découvertes : www.mersenne.org

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Un nombre parfait est égal à la somme de ces diviseurs (sauf lui-même bien sûr).

Voici les quatre premiers :

• 6 = 1 + 2 + 3
• 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14
• 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248
• 8128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064

Euclide a démontré qu'un nombre premier de la forme 2ⁿ-1 engendre un nombre parfait avec la formule suivante : 2^(n-1) x (2ⁿ - 1)!
Exemple avec n= 5 : 2⁴ x (2⁵ -1) = 16 x (32-1) = 496

Les huit premiers nombres parfaits : 6 , 28 , 496 , 8.128 , 33.550.336 , 8.589.869.056, 137.438.691.328, 2.305.843.008.139.952.128

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Conversion d'un nombre décimal en base n.

Conversion d'un nombre écrit en base n en nombre décimal

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S = n * (n+1) / 2

Exemple avec n=6
S = 6*7 / 2 = 21

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S = n * (n+1) * (2*n+1) / 6

Exemple avec n = 5
1²+2²+3²+4²+5² = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = (5 * 6 *11) / 6 = 55

S = (n *(n+1) / 2)²

Exemple avec n=4
1³+ 3³+ 3³ + 4³ = 1 + 8 + 27 + 64 = ( 4 * 5 / 2)² = 100

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Pour obtenir le PGCD de plusieurs nombres, il faut faire la décomposition en facteurs premiers de chaque nombre puis faire le produit de tous les facteurs premiers communs à ces nombres avec leur plus petit exposant.

Premier nombre décomposé 792 = 2³ x 3² x 11 Deuxième nombre décomposé 624 = 2⁴ x 3 x 13

Le PGCD de 792 et 624 est donc : 24 = 2³ x 3

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Pour obtenir le PPCM de plusieurs nombres, il faut faire la décomposition en facteurs premiers de chaque nombre puis faire le produit de tous les facteurs premiers apparus dans les décompositions, chacun n'étant pris qu'une fois avec son plus grand exposant.

Premier nombre décomposé 792 = 2³ x 3² x 11 Deuxième nombre décomposé 624 = 2⁴ x 3 x 13

Le PPCM de 792 et 624 est donc : 20 592 = 2⁴ x 3² x 11 x 13

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C'est le nombre de sous-ensembles possible d'un ensemble : 2ⁿ

Exemple avec 3 éléments {a,b,c}

8 sous-ensembles : {}, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c} = 2^3

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C'est le nombre de permutations possible d'un ensemble n! = 1 x 2 x 3...(n-1) x n

0! = 1
1! = 1
2! = 2
3! = 6
4! = 24
5! = 120
6! = 720
7! = 5 040
8! = 40 320
9! = 362 880
10! = 3 628 800

Exemple avec l'ensemble {a,b,c}

Toutes les permutations possibles : {a,b,c}, {a,c,b}, {b,a,c}, {b,c,a}, {c,a,b}, {c,b,a} = 6 = 3!

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A(p,n) = n! / (n-p)!

C'est le nombre de permutations ordonnées possibles de p éléments parmi n

Exemple avec {a,b,c}

A(2,3) = 6 arrangemets possibles : {a,b}, {b,a}, {a,c}, {c,a}, {b,c}, {c,b}

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C(p,n) = n! / (n-p)! * p!

C'est le nombre de permutations sans ordre possibles de p éléments parmi n

Exemple avec {a,b,c}

C(2,3) = 3 combinaisons : {a,b}, {a,c}, {b,c}

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Exemple : 1 + 3 = 4 = 2²
1 + 3 + 5 = 9 = 3²
1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4²
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 5²
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36 = 6²
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 49 = 7²

1 + 2 = 3
4 + 5 + 6 = 7 + 8
9 + 10 + 11 + 12 = 13 + 14 + 15
16 + 17 + 18 + 19 + 20 = 21 + 22 + 23 + 24
...etc

Remarque : chaque ligne commence par les carrés des nombres entiers : 1, 4, 9, 16..

Un nombre est divisible par :

2 s'il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8
3 si la somme de ces chiffres aboutit à 3, 6 ou 9
4 si ces deux derniers chiffres sont 00 ou sont divisibles par 4
5 s'il se termine par 0 ou 5
6 s'il est divisible par 2 et 3
7 rien de simple, faite la division !
8 si ces trois derniers chiffres sont 000 ou sont divisibles par 8
9 si la somme de ces chiffres aboutit à 9

Un carré est magique lorsque la somme de chaque ligne, chaque colonne et des deux diagonales est égal à une constante.

Dans le carré suivant d'ordre 3, chaque somme de ligne, colonne, diagonale vaut 15

Dans le carré suivant d'ordre 4, chaque somme de ligne, colonne, diagonale vaut 34

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0, 10, 1110, 3110, 132110 ?help13123110 : nombres de chiffre du précédent : 1 trois 1 deux 3 un...

4, 2, 4, 5, 6, 4, 3, 4, 4 ?help4 : nombre de lettres de zéro,un,deux,trois...

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 ?help21 : suite de Fibonacci : somme des deux précédents

2, 3, 3, 5, 10, 13, 39, 43, 172, 177 ?help885 : séquence +1,x1,+2,x2,+3,x3...

1) Faire 21 avec les chiffres 1, 5, 6, 7 et + - * / help 6 / (1- 5/7) = 21

2) En ajoutant les opérations que vous voulez, faites toujours 6

0 0 0 = 6 help (0! + 0! + 0!) ! car 0! = 1

1 1 1 = 6 help (1 + 1 + 1)!

2 2 2 = 6 -> Exemple 2 + 2 + 2 = 6

3 3 3 = 6 help 3 x 3 - 3

4 4 4 = 6 help √4 + √4 + √4

5 5 5 = 6 help 5 + ( 5 / 5 )

6 6 6 = 6 help 6 + 6 - 6

7 7 7 = 6 help 7 - ( 7 / 7 )

8 8 8 = 6 help √8 + √8 + √8 où ici √ est la racine cubique

9 9 9 = 6 help (√9)! + 9 - 9

D'après le légendaire jeu télévisé : Des chiffres et des lettres
La contrainte ici est d'utiliser tous les chiffres. (il existe souvent de nombreuses solutions)

861 avec 3 4 4 5 10 7 -> Exemple ((3 x 10 x 7) + 4) x 4 + 5

556 avec 3 4 8 25 6 3 help (((3 + 8) x 25 ) + 3 ) x ( 6 - 4 )

287 avec 8 10 4 3 8 5 help ((8 x 10) + 5) x 3 + (4 x 8)

261 avec 25 4 3 7 25 3 help ((7 x 25) - ((25 -3) x 4)) x 3

707 avec 6 9 3 25 9 10 help ((6 x 9) - 10) x (25 - 9) + 3

598 avec 6 8 9 9 7 1 help ((9 x 9)-1)x8 - (6 x 7)

bignumber.js : a JavaScript library for arbitrary-precision decimal and non-decimal arithmetic.
number.js : numbers.js

www.alpertron.com.ar/ECM.HTM : factorisation en nombres premiers

Les sites suivants constituent déjà une véritable encyclopédie !
http://www.chronomath.com/ : chronologie des mathématiques, passionnant !
http://perso.wanadoo.fr/yoda.guillaume/index.htm : l'almanach des nombres, très complet
http://www.recreomath.qc.ca/index.htm : base de jeux et récréation mathématiques
http://www.maths-rometus.org/ : Maths et histoire, Maths au collège, Maths et nombres, Maths et mots, Maths et liens par Jean-Luc Romet

http://carredas.free.fr/ : récréation mathématiques, énigmes et problèmes
http://trucsmaths.free.fr/ : des trucs et des maths (pi, nombre d'or, rubik's cube...)
research.att.com/~njas/sequences : L'Encyclopédie Électronique des Suites Entières
http://www.theory.csc.uvic.ca/~cos/root.html : The (Combinatorial) Object Server

En anglais mais indispensable !
http://mathworld.wolfram.com : Mathworld, le site créé par Eric Weisstein.